LOGARITMI

Il logaritmo in matematica, è l'esponente che deve essere dato a un numero, detto base, per ottenere un secondo numero, detto argomento.

Ad esempio, considerata l’espressione 102 = 100, il logaritmo in base 10 di 100 è 2; in simboli si scrive log10 100 = 2.

 

I logaritmi furono inventati originariamente per semplificare il procedimento di moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza ed estrazione di radice, ma vengono ora utilizzati per scopi diversi sia nella matematica pura sia in quella applicata.

 

Le prime tavole logaritmiche furono pubblicate indipendentemente dal matematico scozzese John Napier, noto anche come Nepero, nel 1614, e dal matematico svizzero Justus Byrgius nel 1620. La prima tavola dei logaritmi decimali, cioè dei logaritmi che hanno base 10, fu compilata invece dal matematico britannico Henry Briggs.

Molto usato è il sistema di logaritmi in cui si assume come base il numero trascendente e; essi vengono chiamati logaritmi naturali, o neperiani, e in genere si denotano con il simbolo "ln" anziché "loge".

 

Si chiama antilogaritmo di un numero il risultato che si ottiene elevando la base al numero assegnato. Ad esempio, l'antilogaritmo di 2 in base 10 è 100 (102 = 100).

 

L'uso dei logaritmi può essere illustrato considerando l’esempio di una sequenza di potenze del numero 2: 21, 22, 23, 24, 25 e 26, che corrisponde alla sequenza dei numeri 2, 4, 8, 16, 32 e 64. Gli esponenti 1, 2, 3, 4, 5 e 6 sono i logaritmi in base 2 di questi ultimi. Per moltiplicare due numeri della sequenza è sufficiente sommare i rispettivi logaritmi e determinare l'antilogaritmo (naturalmente in base 2) della somma ottenuta, che corrisponde a elevare la base 2 alla somma delle due potenze. Così, per eseguire il prodotto di 16 per 4, bisogna dapprima osservare che il logaritmo di 16 in base 2 è 4, e che il logaritmo di 4, sempre in base 2, è 2. La somma dei logaritmi trovati, 4 e 2, è 6, e l'antilogaritmo di 6 è 64, che dà il prodotto desiderato. Per eseguire la divisione si procede sottraendo i logaritmi e, come nel caso precedente, calcolando l'antilogaritmo del risultato ottenuto. Ad esempio, per eseguire la divisione tra 32 e 8, si sottrae 3 da 5 e si ottiene 2, il cui antilogaritmo, 4, è il quoziente cercato.

 

Per elevare un numero a una potenza qualunque, bisogna invece moltiplicare quest'ultima per il logaritmo del numero assegnato (espresso in una base opportuna) e determinare l'antilogaritmo del prodotto. Così, per trovare il risultato di 43, si eseguono le operazioni log2 4 = 2, 3 × 2 = 6, antilog2 6 = 64, che appunto è la terza potenza di 4. La radice di un numero si trova dividendo il logaritmo del numero per l'indice di radice. Ad esempio, per calcolare la radice quinta di 32, log2 32 = 5, 5 ÷ 5 = 1, antilog2 1 = 2, che è appunto la radice quinta di 32.

 

La difficoltà maggiore insita nella realizzazione di una tavola logaritmica consiste nel ridurre il più possibile l'intervallo tra due esponenti successivi. Nell'esempio riportato sopra, in cui gli esponenti sono 1, 2, 3 ecc., l'intervallo tra l'uno e l'altro è troppo grande affinché la tavola risulti pratica nella moltiplicazione di cifre elevate.

Scelta la base, una tavola logaritmica fornisce il logaritmo dei primi numeri naturali più frequentemente utilizzati: in effetti, avanzati procedimenti matematici rendono oggi possible determinare il logaritmo di qualsiasi numero positivo.

Ogni logaritmo consiste di una parte intera e una decimale, dette rispettivamente caratteristica e mantissa. Nel sistema dei logaritmi decimali, il logaritmo del numero 7 ha caratteristica 0 e mantissa pari a 0,84510 (approssimata a cinque cifre decimali) e si scrive 0,84510. Il logaritmo del numero 70 è 1,84510; e quello del numero 700 è 2,84510. Il logaritmo del numero 0,7 è -0,15490, che si scrive talvolta 9,84510 - 10 per comodità di calcolo.

 

Va detto comunque che le tavole logaritmiche sono state ormai completamente rimpiazzate dalle calcolatrici elettroniche e dai computer corredati di funzioni logaritmiche.