Paolo Pinto
Ingegnere Aeronautico e
Programmatore
Le equazioni Pacejka
Dagli anni ’70 in poi il Dr. Pacejka ha sviluppato dei modelli di comportamento del pneumatico che hanno portato allo sviluppo della “Magic Formula” : una funzione capace di simularne con relativa semplicità e buona approssimazione le principali caratteristiche .
La Magic Formula è una funzione trascendente del tipo :
Y(x) = D sen(C arctan(Bx – E [ Bx – arctan(Bx)
] )
ove B,C,D,E sono opportuni coefficienti.
Le variabili x,y possono di volta in volta essere associate a grandezze rilevanti per il fenomeno allo studio : ad esempio
x = slip angle , y = Fy per la forza centripeta
x = slip ratio , y = Fx per la forza trattiva
E’ possibile anche, con opportune modifiche , tenere conto di camber, ply steer e conicità.
In realtà la funzione ha appunto, la pressoché magica proprietà di simulare molti fenomeni diversi relativi ai pneumatici, semplicemente cambiando i coefficienti ed i significati di x, y.
Studio della funzione
La funzione y(x) è antisimmetrica ; passa sempre per l’ origine e ivi presenta sempre derivata seconda nulla.
Nei modelli di pneumatico si desidera che la y’(0) sia sempre >0 ; si dimostra che ciò implica che i coefficienti C e D siano di segno concorde.
Per lo stesso motivo deve essere y’’’(0) < 0 ; si dimostra che ciò implica E > -(1 + C2/2)
La curva presenta sempre un asintoto orizzontale per x tendente ad infinito
Il valore di tale asintoto
D sen(Cp/2) per E <1
D sen (C arctan (p/2)) per E =1
-D sen (Cp/2) per E >1
Ne consegue che per avere valori di y(x) > 0 per x tendente ad infinito, si impiegano coefficienti
E<1 ; 0 <C <2
Anche se in realtà altre coppie di limiti superiori ed inferiori potrebbero fungere ugualmente bene allo scopo.
Il parametro B
Il parametro B è detto Fattore di Rigidezza.
Esso determina la pendenza della curva all’ origine ; nei modelli di pratico utilizzo deve essere sempre B>0
Occorre tenere presente che B ha anche una forte influenza sulla posizione dell’ eventuale massimo (minimo) relativo : al suo diminuire esso si sposta a destra (sinistra)
Il parametro C
Il parametro C è setto anche Parametro di Forma.
Esso determina la presenza eventuale di un massimo a destra e di un minimo a sinistra della funzione. Ciò avviene se C>1, fatto salvo quanto detto prima.
Tale massimo si situa in una posizione xm che va dedotta, in genere numericamente, da
B(1-E)xm + E arctan(Bxm) = tan (p/(2C)) (*)
Il massimo è tanto più accentuato quanto maggiore il valore di C.
Un tipico valore di C è 1.3 per la simulazione della forza centripeta ; 1.6 per la trattiva-frenante
Il parametro D
Il parametro D è detto anche Valore di Picco.
Esso costituisce un limite superiore del modulo della funzione , dato che il parametro
sen(C arctan(Bx – E [ Bx – arctan(Bx) ] )
non può crescere ovviamente oltre 1.
Con i valori degli altri coefficienti normalmente utilizzati, D rappresenta il valore del massimo relativo della funzione.
Il parametro E
E’ detto anche parametro di curvatura; solitamente lo si pone minore di zero. Al diminuire del valore assoluto di E la curva tende ad appiattirsi.
APPLICAZIONE
FISICA
In letteratura non molti dati sono disponibili sulle effettive caratteristiche dei pneumatici, specie quelli da competizione ; benché questo sia comprensibile per gli ultimi sviluppi, questa desolante scarsità di notizie si estende anche a modelli vecchi di 20 anni .
Quando sia possibile rintracciare dei dati, essi sono spesso parziali ; ad esempio in [2] le curve Forza Laterale vs Slip Angle si interrompono ad a = 6°, e sono plottate solo per 4 diversi valori del carico verticale. .
Questo rende utile, a chi voglia creare simulazioni di vettura da competizione, il ricorso alla Magic Formula , che permette di avere il comportamento del pneumatico sull’ intero range di slip angles e di carichi verticali a partire da pochi dati noti che permettano di attribuire dei valori adeguati ai coefficienti.
Chiaramente non si avrà mai la perfetta aderenza alla realtà; del resto praticamente tutte le formule analitiche ( e molte delle soluzioni numeriche) usate in Ingegneria servono solo come prima approssimazione. Con grande gioia degli Sperimentali.
Un’ altra applicazione delle curve è la simulazione per pneumatici da corsa di cui non si abbiano dati, a partire da altri simili. Ad esempio, ove si voglia simulare un pneumatico di tipo simile ad uno noto, ma di mescola più morbida, basterà in linea di principio innalzare il solo coefficiente D.
Questo perchè (IN LINEA DI MASSIMA…) i coefficienti B, C, E, dipendono principalmente dalla costruzione della carcassa, e D rende conto dell’ aderenza..
Ove si voglia un pneumatico che trasmetta al pilota con molta chiarezza l’ avvicinarsi del limite (cosa utile nei videogames, dove manca l’ input sensoriale dovuto alle accelerazioni ed il giocatore deve poter contare su un buon input visuale ), converrà agire sui parametri C ed E, che regolano l’ importanza della caduta di aderenza dopo il picco.
Il passaggio ad una pneumatico di sezione più larga, e quindi più rigido, potrà invece tradursi in un aumento di B (legato alla rigidezza di deriva), e magari anche in una diminuzione di di C, per diminuire il parametro BCD e quindi lo slip angle di massima aderenza.
Le curve di Pacejka vengono qui utilizzate per tracciare i vari diagrammi a,m ovvero slip angle a versus coefficiente d’ attrito m, al variare del carico verticale FZ
Va detto che in letteratura questo approccio non appare diffuso, preferendosi plottare la forza centripeta generata dal pneumatico piuttosto che il coefficiente d’ attrito ; il fatto che le due grandezze siano legate da un semplice fattore di proporzionalità rende comunque legittimo questo cambiamento.
Non sarà inutile ricordare che “coefficiente d’ attrito” è una denominazione impropria quando si tratti di pneumatici , essendo più corretto riferirsi ad una “forza normalizzata” pari a Fy/Fz
Tuttavia la comodità di utilizzare m farà in queste pagine premio sulla rigorosa correttezza formale.
Variabilità del coefficiente D in funzione del carico
Il valore di partenza non può che essere D : esso infatti rappresenterà il valore massimo raggiunto dal coefficiente di attrito. Per un pneumatico di Formula 1 il valore di 1.8 (sotto un carico di 600 Kg circa) può essere ritenuto plausibile
In questo caso è importante rendere il parametro D dipendente dal carico verticale Fz; infatti il valore massimo di aderenza diminuisce all’ aumentare dello stesso.
Una buona formula, riportata in diversa forma in [2] e [3] , può essere :
m = a1 Fz + a2 (**)
Con a1<0 ; a2>0
Va notato che il pur interessante studio [3] suggerisce (Cap 24) valori positivi per entrambi questi coefficienti, cosa assolutamente incongruente con i dati sperimentali.
Alternativamente si può usare la formula descritta in [4]
m = m0 / (1+mtFz) (***)
Ovviamente occorre trovare i coefficienti adatti ; riferendosi ai dati sperimentali per un pneumatico frontale da F1 marca Goodyear pubblicati (in altra forma) in [2], dopo una breve analisi comparativa si osserva che la forma migliore (almeno per questo tipo di pneumatico) è la (**) ;
dei coefficienti plausibili per un pneumatico frontale possono essere :
a1 = -00138
a2 = 1.988
ove si esprima FZ in Kg
A tutti gli effetti pratici D è il coefficiente d’ attrito a carico zero ; il confronto con i coefficienti in condizioni operative (variabili tra 1.8 ed 1.3) dà la misura della lontananza di questi fenomeni dal classico attrito coulombiano a coefficiente fisso.
Variabilità della rigidezza di deriva in funzione del carico
La rigidezza di deriva è normalmente intesa come dFy/da ; all’ interno di questa trattazione la intenderemo però come dm/da .
La rigidezza di deriva tradizionalmente intesa cresce con il carico verticale ; tuttavia ove la si intenda come dm/da essa diminuisce al crescere di Fz.
Essa si rende dipendente dal carico con la formula :
BCD = a3 sen (2 arctan(FZ/a4))
A tutti gli effetti pratici questo significa modificare B e C , visto che D è scelto in base ad altre considerazioni. C’è però da tenere presente che il valore di D impiegato dovrà essere quello relativo al carico FZ in esame.
Purtroppo non ci si può servire della (*) per chiudere il sistema, visto che entrerebbe in gioco anche la variabile E.
La soluzione sta ovviamente in un approccio numerico che per tentativi trovi la migliore tripletta B,C,E ; tuttavia anche i sistemi numerici hanno bisogno di valori di partenza, se possibile non sideralmente distanti da quelli definitivi.
Ora, almeno per C si ha qualche indizio : si è già affermato che il suo valore debba essere compreso tra 0 e 2 , e in [1] si cita 1.3 come un valore plausibile (benché non sia specificato a quale tipo di pneumatico esso vada riferito).
Pertanto si porrà inizialmente
C = 1.3
La formula può quindi riscriversi come :
B = (a3 sen (2 arctan(FZ/a4)))
/ (C (a1 Fz + a2))
La ricerca riguarda ovviamente le variabili a3 ed a4 , visto che tutti gli altri valori sono stabiliti.
Ancora una volta ci si può riferire ai dati sperimentali disponibili.
Il parametro a4 rende conto della forma del grafico della funzione ; al suo salire il grafico ssume un aspetto sempre più “ingobbito”.
La variabile a3 può essere considerata come un termine di intensità : infatti essa non varia la forma del grafico, ma è un moltiplicatore dei valori.
Dei buoni valori di partenza possono essere :
a3 = 1.37
a4 = 120
ove il carico sia espresso in Kg.
La
posizione dei massimi
A titolo di controllo si può osservare l’ andamento dei massimi relativi della funzione al variare di FZ ; essi dovrebbero spostarsi verso destra al crescere del carico.
Ricordiamo l’ equazione :
B(1-E)xm + E arctan(Bxm) = tan (p/(2C)) (*)
Che fornisce la posizione del massimo.
Un
esempio pratico
Di seguito, le curve di Pacejka ottenute per diversi carichi verticali, per un pneumatico di caratteristiche :
|
C |
1,35 |
|
E |
-0,4 |
|
a1 |
-0,00138 |
|
a2 |
1,988 |
|
a3 |
1,37 |
|
a4 |
120 |
Grafico coefficiente d’ attrito vs angolo di deriva per un pneumatico anteriore di Formula 1
Glossario
Fx : forza agente lungo la strada in direzione ortogonale all’ asse del pneumatico
Fy : forza agente in direzione dell’ asse del pneumatico
FZ : forza verticale agente sul pneumatico
a = angolo di deriva
m = coefficiente di attrito
Bibliografia :
[1] M. Guiggiani : Dinamica
del veicolo ; Città Studi Edizioni
[2] M. Milliken, D.Milliken : Race Car Dynamics
; SAE
[3] Brian Beckman ; The Phisics of Racing ;
Online Document
[4] G.Rimondi, P.Gavardi ; A new interpolative model of the mechanical
characteristics of the tyre as an input to handling models ; Rivista ATA
6/7/1991